專訪丘成桐（下）：我的物理學及應用數學工作

今年年初，國際著名數學家、清華大學數學科學中心主任、清華大學求真書院院長丘成桐教授做客由清華大學圖書館和中信出版社主辦的“父親與我——談《丘鎮英先生哲學史講稿》”線上直播活動。清華大學物理系樓宇慶教授在活動中采訪了丘先生。

在該訪談的文字整理稿的上篇《專訪丘成桐（上）：為了民族未來，一定要改變中國科學文化》中，丘成桐教授講述了其父丘鎮英先生雖然在自己14歲時就早早離世，但何以深遠塑造了自己一生做學問和教書育人的底色，最終影響了自己的半生事業，也詳細介紹了自己正竭力推動的數學領軍人才教育的理念、做法和一些有價值的細節。

在本篇中，丘先生向學界介紹了自己在物理學和應用數學上的一些重要工作，并分享了關于數學和物理的一些獨特看法。已獲得“返樸”長期白名單轉載授權的媒體，如希望轉載此文，請單獨申請并等待授權。

整理 | 小葉、譚瑩

樓宇慶：您在國際上是一個大家熟知的有影響力的數學大家，但您在離開哈佛大學之前，也是哈佛的物理系教授。在您看來，數學和物理的關系是怎么樣的？您哪些研究工作對物理學有影響？您設想在中國如何推動物理學的發展，至少是理論物理學的發展？

丘成桐：數學自古以來跟物理其實不分家，數學跟物理都是很重要的學科，牛頓以前的大物理學家都跟數學有關。一直到20世紀以前，像麥克斯韋、拉格朗日，他們既是物理學家，又是數學家，高斯等數學家對物理也都有貢獻。

其實物理學家有時候將數學家的貢獻變成物理學家的貢獻，是不大公平的。很多主要的物理貢獻是數學家做的，譬如狹義相對論不是愛因斯坦一個人做的，有很多數學家參與，龐加萊就在狹義相對論上做了很重要的工作，這是絕對沒有問題的。但是到了20世紀初期，因為物理開始不嚴格，尤其量子力學出現以后，量子力學的基礎不但數學上不嚴格，在物理上也不嚴格。當然目前量子力學上的很多觀念，現在大家還吵得很厲害，比如量子糾纏等都是這個問題。但是在上世紀20、30年代的時候，量子力學剛開始成為影響科學的重要學問，也實現了很多成果，所以慢慢地，物理學家就認為都是他們做的，其實數學家也參與量子力學的發展，比如大衛·希爾伯特等，后來還出現了馮·諾依曼。當時一代大師都是跟量子力學有關的。

量子場論產生以后，理論越來越嚴格化，所以數學家參與時，就覺得還不夠嚴格，在這方面花很多工夫。物理學則跳躍地向前走，用實驗來證明他們做的東西是對的，所以跳躍得蠻快。發展到了一個地步以后，物理學家就以為數學家做的東西不重要。但到了60-70年代，他們發覺自己的數學水平不夠，物理學需要大量的數學。尤其70年代以后，理論物理學家用了大量的數學，這些數學對于物理學很重要。而很多古典的物理學家不懂數學，對數學有很多批評，因為他們看不懂別的數學。事實上，數學到了70年代以后成為整個理論物理的基礎，現在很多重要的工作都是從數學而來，所以數學跟物理其實不分家的。我為什么在物理系有個位置，是物理系的教授自己投票讓我作教授的。

我主要有幾個方面的工作，一是我70年代在廣義相對論方面做了一些重要工作，到目前，過了50年了，我現在還在做廣義相對論的工作，有些東西其實還是很重要的。前年（2020年）英國物理數學家彭羅斯拿了諾貝爾（物理學）獎。

傳媒報道的關于彭羅斯的工作，他其實沒有全部完成，最后的階段由我及一位學生在1982年完成。他做了前面重要的部分，就是時空中有所謂closed trapped surface （閉合的俘獲面）存在的話，時空的奇點必須要存在，但是他不知道在什么情況下時空中有closed trapped surface。因此黑洞存在的奇點問題他沒有做完。在1982年，我和我的學生 Richard Schoen（孫理察）證明了假如在時空某個區域中，物質的密度大過某個臨界點時，closed trapped surface 會出現，從而產生黑洞。所以我在物理上也做了不少工作。

第二是物理學里的弦理論產生以后，我做的工作就成為他們最重要的工具，也可以講是它的模型，這個模型到現在還在用，大家要檢測很多重要物理理論的時候，還是要用我的模型卡拉比-丘流形來測（編注：可參見《丘成桐在黑洞與弦理論的工作》）。這些在物理學方面占了很重要的位置，我跟物理學家有很多來往。除了這方面以外，我跟他們也有很多其他方面的來往，從我畢業后就一直對物理密切關注。

物理學對我做數學也有很大的影響。因為物理里產生的問題，物理學家沒辦法給出一個數學證明。他們提出一個觀點，卻沒有能力借助數學去完成它。而他們提出來的很多看法和直覺數學家也沒有辦法做到，到現在還沒有辦法做到。不過物理學家提出的有些問題和看法可以解決數學上一些重要的老問題，我自己也參與了。

樓宇慶：您2018年獲得了馬塞爾·格羅斯曼獎 (Marcel Grossman Award)（編注：獲獎理由為：表彰他在廣義相對論中總質量的正定性，完善"準局域質量"概念,證明"卡拉比猜想"以及在黑洞物理研究等工作作出的巨大貢獻。這是該物理大獎首次頒給華人數學家)，之前2015年，李政道和楊振寧先生也曾獲得這個獎。您能通俗地介紹一下您在研究廣義相對論方面的貢獻嗎？

丘成桐：愛因斯坦做廣義相對論的時候，做成一個方程，一個結構，當時有個重要的問題就是，從古典的廣義相對論立場來講它是不是穩定的？這是一個重要問題。如果理論不穩定的話，那就會出大問題。即所謂整個大崩潰（collapse），就好像太陽系動蕩一下，整個太陽系就不見了。

譬如，廣義相對論描述兩個黑洞碰撞的時候，它描述整個系統的方程是不是穩定的？這個穩定是什么意思？用當時廣義相對論的看法，首先整個系統有個能量，在普通物理里，一般講的能量都是正的，是positive的，但是廣義相對論定義的能量是從愛因斯坦開始定義的一個能量，這個能量不曉得是正還是負。假如一個能量是負的話，就表示整個系統會崩潰，崩潰的話就說明廣義相對論的這個理論不對了，等于系統走向低能量，越來越負了。

所以這個問題從愛因斯坦開始就一直有人考慮，花了幾十年的工夫，物理學家都對這個很迷茫，思索有沒有可能解決它。首先，愛因斯坦跟希爾伯特兩個人共同完成了廣義相對論的第一步，當時他們對能量問題都有很大的興趣，因為廣義相對論是一個非線性方程，非線性理論，不像普通力學是線性的。此外，它沒有對稱性，普通的牛頓力學有很多對稱性，一種對稱是平移（translation），一種是旋轉（rotation），有守恒量，但廣義相對論沒有這個平移，沒有守恒量，所以定義能量本身就花了很多工夫，希爾伯特跟愛因斯坦就定義過這種能量概念。定義了以后，因為他們不曉得能量是不是正的，所以花了很多工夫去考慮這個事情。到了一九五幾年的時候，很多大物理學家提出，我們先不要假定它是正的，先假定它是負的，那我們有沒有辦法將廣義相對論糾過來，讓它穩定？他們對此提出很多不同的看法。但是到了七幾年的時候，他們還是沒有辦法解決，后來我們在1978年將這個問題解決了，跟我的學生孫理察證明了它一般是正的，我們對非線性方程也做了很仔細的估計，才證明它是正的，所以從那個時候，我們知道廣義相對論從能量的觀點來講，它是穩定的，不會崩潰。

從這個證明里，我們也找出黑洞能夠產生的機制，我跟我學生一起證明了，很多物質聚在一起太多后會變成為一個黑洞。關于能量這個問題，直到今天我們還在討論它，有很多重要的觀點是我提出來的，現在還在發展，所以在廣義相對論上，我做了很多不同的事。而馬塞爾·格羅斯曼獎主要是跟廣義相對論、跟引力有關的一個大獎。

樓宇慶：您是如何看待今天很多其他重要物理領域的發展的？比如量子計算機、量子通訊等。當然，我們設想中間可能也涉及很多極具挑戰性的數學問題，您從比較宏觀的角度是怎么看待這些領域的，以及數學在其中可能起到的作用的？

丘成桐：量子計算也好，量子通訊也好，我想很多問題就是量子力學本身的基礎還沒有被了解清楚，所以很多重要的問題還沒解決。量子力學本身的基礎問題對我來講更有挑戰性，也更有趣，但量子計算除了基本問題，還有其他技術上的問題，數學在其中占很重要的位置，但至于具體占什么位置現在也不很清楚。我有個朋友Peter Shor，他在一九九四年做了量子計算的第一個算法，這是很重要的研究，他用的數學很不簡單。量子計算是應用量子力學、量子場論和其他數學，我也做，但是一般來講我的研究重點不在這些應用的地方。

但是我也做應用數學，其實在這上花了不少工夫，比如圖像處理我做了30年了。但我沒把應用數學看得這么重，我跟著我弟弟（編注：清華大學數學科學系教授丘成棟）做控制理論的一些重要問題，我也跟早年從清華大學（畢業去美國留學）的學生顧險峰（編注：現任美國紐約州立大學石溪分校計算機系終身教授）合作，他從前在念書的時候是我指導的一個博士生。當時應當是1999年，我指導他做圖像處理，用所謂共形變換來做，這是應用黎曼的一些想法做的，雖然想法很自然，但是當時計算機科學里不太用，這是我指導顧險峰一同發展出來的。如今很多人都在用，但沒有提來源，其實是由我開始的，我到現在還在做應用數學。

樓宇慶：您認為人工智能是否可以在某些類型的數學領域大有作為？比如基于大量的案例分析提出數學猜想，甚至能再多走一步證明數學猜想？您認為在這類情形上，數學家跟機器的競爭會不會愈演愈烈？當然，機器證明會有我們人類信不信機器的證明是正確的的問題。

丘成桐：對很多事情而言，人工智能是很重要的，但是人工智能要真能做出一個有意義的猜想，我想它做不到。因為這里有一個人的喜怒哀樂，一個人的taste（品味），這是機器學習不了的。人類是充滿矛盾的，我們有時候喜歡某個東西，有時候又不喜歡，一些矛盾的東西是可以在人身上同時發生、同時進行的，但機器沒有這些。所以一篇文章有（作者的）好或者惡，這是機器做不到的。你剛才講到黎曼猜想，過了50年，我對黎曼猜想仍不是很興奮，但是對卡拉比猜想，我一眼看過去就很興奮。機器基本上是靠輸入人類的想法，然后在一堆數據里面找東西，它會找到。但它找到的這堆數字可能并不反映最真實的情況。

一位物理學家講過，海里邊的魚很多，假如放一張網進去，網上的洞都是一尺大，那么我們看到世界上所有的魚就都是一尺以上的魚，是不是我們的工具阻礙了我們的看法？有些東西不可能是機器看出來的。機器從數據里不停產生一些東西出來，就像我們有思考的能力，但機器不是真的思考，而是將累積下來、看到的事實解決，但是你看到的事實并不是完全的，這還差得遠，所以機器沒法再向前走。

我跟做人工智能的朋友聊過很多次，他們都沒有辦法從一兩百個歐氏幾何的定理里找到最簡單的五個公理。類似地，我想機器學習也不能通過學習所有牛頓力學推出的許多重要問題而總結出牛頓的三大定律。當然，哪天機器能夠做到這一步后，我們再討論這個問題，現在我相信它做不到。

樓宇慶：之前AlphaGo Zero跟人下圍棋走出了一些人類從來沒有走過的，所以您覺得人工智能做數學會不會涌現出類似的現象？

丘成桐：我不能否認有些東西有好處，但是現在（主流的人工智能）做出來的是一種算法，并不是真的一個定理，它可以從很亂的東西里找到一些新的方法，但是它不會總結出一個新的（更高的認知），不能曉得其中一個定理、定律有多重要，不曉得哪一個是最重要的，是能影響其他定律的。（完）

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協科普部

監制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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